\documentclass[12pt]{annales}
\usepackage{pstricks,eurosym} 
\parskip=2mm
\begin{document}


\begin{flushright}
\textbf{Session 2002}
\end{flushright}


\begin{center}
{\taille{16}\textbf{BACCALAUR\'EAT TECHNOLOGIQUE}}

\bigskip
{\taille{16}\textbf{SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES}}

\bigskip

\begin{tabular}{l}
\textbf{Génie Mécanique} \\
~~~~~~~~~\textbf{Option A : Productique Mécanique} \\
~~~~~~~~~\textbf{Option F : Microtechniques} \\[2ex]
\textbf{Génie Énergétique} \\[2ex]
\textbf{Génie Civil} \\
\end{tabular} 






\bigskip
{\taille{16}\textbf{MATH\'EMATIQUES}}

\end{center} 



\textbf{Durée : 4 heures}\hfill
\textbf{Coefficient : 4}



\begin{center}

\rule{35mm}{0.4mm}

\bigskip
\textbf{\textit{L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.}}

\bigskip
\rule{35mm}{0.4mm}


\end{center}


\medskip
\textbf{Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.}\\
\textbf{Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.}

\medskip
\textit{\textbf{Dès que le sujet vous est remis assurez vous qu'il est complet, que toutes les pages sont imprimées.}}

\bigskip
\textit{\textbf{Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.}}

\medskip
\textit{\textbf{Ce sujet nécessite deux feuilles de papier millimétré.}}

\newpage

\textbf{Exercice 1} \textit{(4 points)}

\textbf{Partie A}

Une roue de loterie comporte 3 secteurs, portant respectivement les numéros 1, 2 et 3. Quand on fait tourner la roue, un repère indique le numéro sortant. La probabilité de sortie du numéro~2 est double de la probabilité de sortie du numéro 1, et la probabilité de sortie du numéro 3 est triple de celle du numéro 1. Calculer les probabilités de sortie respectives des 3 numéros.


\medskip
\textbf{Partie B}

\begin{minipage}{4cm}
\psset{unit=15mm}
\begin{pspicture}(2,2)
\pscircle(1,1){1}
\pswedge(1,1){1}{-30}{30}
\pswedge(1,1){1}{90}{150}
\pswedge(1,1){1}{210}{270}
\rput(1.6,1){R}
\rput(1.3,1.6){R}
\rput(0.7,1.6){B}
\rput(0.3,1){J}
\rput(0.7,0.5){R}
\rput(1.3,0.5){J}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}
La roue est maintenant divisée en 6 secteurs égaux ayant chacun la même probabilité de s'arrêter devant le repère.

\medskip
2 secteurs sont jaunes (marqués J sur la figure)\\
3 secteurs sont rouges (marqués R sur la figure)\\
1 secteur est bleu (marqué B sur la figure).
\end{minipage}

La règle du jeu est la suivante : pour participer au jeu, le joueur doit miser une certaine somme et si le jaune sort, il gagne 20 \euro\ si le bleu sort, il gagne 30 \euro, si le rouge sort, il ne gagne rien.

\qst Dans cette question, on suppose que la mise est de 10 \euro. On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque arrêt de la roue associe le gain effectif (positif ou négatif) du joueur. (Par exemple, si le bleu sort, le gain effectif pour le joueur est de 20 \euro.)

\ssq Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
\ssq Calculer son espérance mathématique.

\qst L'organisateur du jeu ne souhaite pas que l'espérance de gain du joueur soit positive. \`A quelle valeur minimale, exprimée par un nombre entier d'euros, doit-il fixer le montant de la mise ?


\bigskip\numqst1
\textbf{Exercice 2} \textit{(5 points)}
\qst Soit $P(z)=z^3-4z^2+9z-10$ où $z$ appartient à l'ensemble \C des nombres complexes.
\ssq Résoudre dans \C l'équation $z^2-2z+5=0$.
\ssq Calculer $P(2)$.
\ssq Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $P(z)=(z-2)(az^2+bz+c)$.
\ssq Déduire des questions précédentes les solutions dans \C de l'équation $P(z)=0$.

\newpage
\qst Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $(O,\vec u,\vec v)$ d'unité graphique 2 cm.\\
On considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives :\par
\hfil $z_A=2$ ; $z_B=1+2{\rm i}$ ; $z_C=1-2{\rm i}$ et $z_D=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\,{\rm i}$.
\ssq Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$ dans le plan complexe (sur papier millimétré).
\ssq Calculer les modules des nombres complexes $z_A-z_D$, $z_B-z_D$ et $z_B-z_A$.\\
En déduire la nature du triangle $ABD$.


\bigskip\numqst1
\textbf{Problème} \textit{(11 points)}

\textbf{Partie A : Etude du signe de $\boldsymbol{x^3-1+2\ln(x)}$}

Soit $g$ la fonction définie sur ]0 , $+\infty$[ par $g(x)=x^3-1+2\ln x$.\\
($\ln x$ désigne le logarithme népérien de $x$)

\qst Calculer $g'(x)$ et étudier son signe.
\qst Dresser le tableau de variation de la fonction $g$. (Les limites ne sont pas demandées).
\qst Calculer $g(1)$.
\qst Déduire des questions précédentes le signe de $g(x)$ sur l'intervalle ]0 , $\infty$[.

\bigskip\numqst1
\textbf{Partie B : Courbe représentative d'une fonction et calcul d'aire}

On considère la fonction $f$ définie sur ]0 , $+\infty$[ par $f(x)=x-1-\dfrac{\ln x}{x^2}$.\\
On appelle $(\cal C)$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal $(O,\vec\imath,\vec\jmath)$ (unités 3 cm sur l'axe des abscisses, 2 cm sur l'axe des ordonnées.)

\qstssq Déterminer $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et $\lim_{x\to 0}f(x)$.
\ssq Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=x-1$ est asymptote oblique à $(\cal C)$. Y a-t-il une autre asymptote à $(\cal C)$ ? Si oui, donner son équation.
\ssq Calculer $f'(x)$ et montrer que l'on peut écrire $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^3}$.
\ssq En utilisant les résultats de la partie A, déterminer le signe de $f'(x)$, puis dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\ssq Calculer les coordonnées du point d'intersection entre l'asymptote $(D)$ et la courbe $(\cal C)$. Étudier la position de la courbe $(\cal C)$ par rapport à la droite $(D)$.
\ssq Tracer dans le repère $(O,\vec\imath,\vec\jmath)$ la courbe $(\cal C)$ et la droite $(D)$.

\newpage
\qstssq Montrer que la fonction $H$ définie par $H(x)=-\dfrac{1}{x}(1+\ln x)$ est une primitive de la fonction $h$ 
définie sur ]0 , $+\infty$[ par $h(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}$.
\ssq Soit $\Delta$ le domaine plan limité par $(D)$, $(\cal C)$ et les droites d'équation $x=1$ et $x=\sqrt{{\rm e}}$.\\
Hachurer $\Delta$ ; calculer la valeur exacte de l'aire, en cm$^2$, de $\Delta$ ; en donner une valeur approchée au mm$^2$ près.

\end{document}